Menghitung Limit Fungsi yang Mengarah ke Konsep Turunan

Untuk memahami materi ini, Anda terlebih dahulu harus menguasai konsep limit fungsi. Konsep limit fungsi erat sekali kaitannya dengan konsep turunan. Dari konsep turunan ini Anda akan mampu menghasilkan persamaan-persamaan baru yang spektakuler tentang limit fungsi. Kenapa saya sebut sebagai persamaan yang spektakuler? Karena persamaan tersebut merupakan persamaan trik cepat menjawab soal-soal yang berhubungan dengan limit.

Dengan menguasai konsep limit dan konsep turunan, Anda tidak perlu berpikir lama-lama atau menghabiskan banyak kertas buram hanya untuk menjawab satu soal tentang limit. Cukup hanya melihat saja soal tersebut Anda akan temukan jawabannya dan pastinya jawaban tersebut benar. Oke tidak perlu bertele-tele langsung saja ke materi.

Perhatikan gambar grafik fungsi di bawah ini. Dari grafik di bawah ini, diketahui fungsi y = f(x) pada interval k < x < (k + h), sehingga nilai fungsi berubah dari f(k) sampai dengan f(k + h).

Perubahan rata-rata nilai fungsi f terhadap x dalam interval k < x < (k + h) adalah

Rumus tersebut merupakan rumus mengerjakan soal-soal limit yang mungkin anda sudah pelajari sebelumnya di materi fungsi limit. Jika nilai k makin kecil maka nilai

Persamaan tersebut disebut laju perubahan nilai fungsi f pada x = k. Limit ini disebut turunan atau derivatif fungsi f pada x = k. Persamaan tersebut juga disebut turunan fungsi f di x yang ditulis dengan notasi f′(x), sehingga kita peroleh rumus sebagai berikut:

Jika nilai limitnya ada, fungsi f dikatakan diferensiabel di x dan f′ disebut fungsi turunan dari f. Turunan dari y = f(x) seringkali ditulis dengan y' = f ′(x). Notasi dari y' = f ′(x) juga dapat ditulis: dy/dx atau df(x)/dx.

Nah, sampai di sini dahulu. Apakah anda sudah paham? kalau belum paham coba kembali lagi pahami atau buka-buka memorinya tentang konsep fungsi limit. Untuk memantapkan pemahaman anda tentang materi konsep turunan silahkan anda pelajari soal-soal berikut ini. Ini akan membuat pemahaman anda menjadi meningkat.

Contoh soal 1

Tentukan turunan pertama dari:

f(x) = 8

Penyelesaian:

Contoh soal 2

Tentukan turunan pertama dari:

f(x) = 2x – 6

Penyelesaian:

Nah, setelah mempelajari soal-soal di atas. Sekarang coba anda kerjakan dengan menggunkan konsep limit fungsi nilai dari f(x) = 1, f(x) = x,  f(x) = x², f(x) = x³, . . . , f(x) = xⁿ . Setelah anda kerjakan nilai f(x) = 1, f(x) = x,  f(x) = x², f(x) = x³, . . . , f(x) = xⁿ dengan menggunakan rumus fungsi limit sebagai berikut:

akan didapatkan hasil seperti tabel di bawah berikut ini.

Dari tabel tersebut dapat dilihat bahwa jika f(x) = xⁿ, maka f ′(x) = nx^{n – 1}, atau:

Nah, itulah keterkaitan antara konsep limit fungsi dengan konsep turunan (diferensial). Untuk memantapkan konsep tersebut berikut Mafia Online berikan beberapa contoh soal yang berkaitan dengan konsep turunan.

Contoh soal 1

Carilah f ′(x) jika diketahui fungsi f(x) = √x³

Penyelesaian:

f(x) = √x³ = x^3/2

f ′(x) = (3/2) (x^3/2-1))

f ′(x) = (3/2) (x^1/2)

f ′(x) = (3/2)√x

Contoh soal 2

Carilah f ′(x) jika diketahui fungsi f(x) = 5/x²

Penyelesaian:

f(x) = 5/x² = 5x ^-2

f ′(x) = (-2)5x ^-2-1

f ′(x) =  -10x^-3

f ′(x) = -10/x³

Contoh soal 3

Carilah f ′(x) jika diketahui fungsi f(x) = 4x³

Penyelesaian:

f ′(x) = 3.4x^3-1

f ′(x) = 12x²

Contoh soal 4

Carilah f ′(x) jika diketahui fungsi f(x) = 4x³/√x

Penyelesaian:

f(x) = 4x³/x ^1/2

f(x) = 4x³- ^1/2

f(x) = 4x^5/2

f ′(x) = 4.(5/2)x^{5/2 – 1}

f ′(x) = 10x^3/2

f ′(x) = 10x/√x