Cara Mencari Besar Sudut Antara Garis dan Bidang

Kita telah ketahui bahwa kedudukan garis terhadap bidang dapat dibedakan menjadi tiga yakni: garis terletak pada bidang, garis sejajar bidang, dan garis memotong (menembus) bidang. Bagaimana cara mencari besar sudut antara garis dan bidang?

Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar di atas merupakan kedudukan garis terletak di bidang atau berimpit dengan bidang dan kedudukan garis sejajar dengan bidang. Kita ketahui bahwa bidang adalah himpunan garis-garis yang anggotanya terdiri dari lebih dari satu buah garis (silahkan baca: pengertian titik, garis dan bidang). Kita juga ketahui bahwa sudut yang dibentuk oleh dua buah garis yang sejajar dan garis yang berimpit adalah 0° (silahkan baca: sudut antara garis dan garis dalam bangun ruang). Maka sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang yang saling sejajar dan saling berimpit adalah 0°.

Sekarang perhatikan gambar di bawah ini. 

Pada gambar di atas merupakan sebuah garis g yang menembus bidang ABCD di titik O. Proyeksi gari g akan membentuk garis EF yang berimpit dan sejajar dengan bidang ABCD. Besar sudut yang dibentuk oleh garis g dengan bidang ABCD adalah sudut yang dibentuk oleh garis g dengan garis proyeksinya yaitu sebesar β. Jadi, sudut antara garis dan bidang adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis tersebut dengan proyeksinya pada bidang.

Nah untuk memantapkan pemahaman Anda mengenai besar sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang dalam bangun ruang dimensi tiga silahkan perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal

Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini. 

Diketahui panjang rusuk kubus di atas 4 cm, titik P berada di tengah rusuk AB dan titik Q berada di tengah rusuk BC. Jika titik potong garis BD dengan garis PQ adalah R. (a) Hitunglah besar sudut yang dibentuk oleh garis DR dengan bidang HPQ dan hitunglah besar sudut yang dibentuk oleh garis HR dengan bidangn FPQ!

Penyelesaian:
(a) Perhatikan gambar di bawah ini.

Perhatikan garis DR dan bidang HPQ! Besar sudut yang dibentuk oleh garis DR dengan bidang HPQ adalah α.

Cari panjang PQ dengan teorema phytagoras:

PQ = √(BP² + BQ²)

PQ = √(2² + 2²)

PQ = √(4 + 4)

PQ = 2√2 cm

Cari panjang BR dengan teorema Phytagoras juga dengan siku-siku di R, di mana PR = ½ PQ = √2 cm, maka:

BR = √(BP² – PR²)

BR = √(2² – (√2)²)

BR = √(4 – 2)

BR = √2 cm

Cari panjang BD dengan rumus diagonal bidang kubusyakni:

BD = s√2

BD = 4√2 cm

Cari panjang DR

DR = BD – BR

DR = 4√2 cm –√2 cm

DR = 3√2 cm

tan α = DH/DR

tan α = 4 cm/(3√2 cm)

tan α = 4√2/6

tan α = 2√2/3

arc tan 2√2/3 = 43,31°

Jadi besar sudut yang dibentuk oleh garis DR dengan bidang HPQ adalah 43,31°.

(b) Perhatikan gambar di bawah ini.

Perhatikan garis HR dan bidang FPQ! Besar sudut yang dibentuk oleh garis DR dengan bidang HPQ adalah β.

Cari panjang PQ dengan teorema phytagoras:

PQ = √(BP² + BQ²)

PQ = √(2² + 2²)

PQ = √(4 + 4)

PQ = 2√2 cm

Cari panjang BR dengan teorema Phytagoras juga dengan siku-siku di R, di mana PR = ½ PQ = √2 cm, maka:

BR = √(BP² – PR²)

BR = √(2² – (√2)²)

BR = √(4 – 2)

BR = √2 cm

Cari panjang FR, yakni:

FR = √(BR² + BF²)

FR = √((√2)² + 4²)

FR = √18

FR = 3√2 cm

Cari panjang BD dengan rumus diagonal bidang kubusyakni:

BD = s√2

BD = 4√2 cm

Cari panjang DR

DR = BD – BR

DR = 4√2 cm –√2 cm

DR = 3√2 cm

Cari panjang HR dengan teorema phytagoras juga yakni:

HR = √(DH² + DR²)

HR = √(4² + (3√2)²)

HR = √34 cm

Cari besar ∠β dengan aturan cosinus yakni:

FH²= HR² + FR² – 2.HR.FR.cos β

(4√2)²= (√34)² + (3√2)² – 2.√34.3√2. cos β

32 = 34 + 18 – 6√68. cos β

32 = 52 – 12√17. cos β

12√17. cos β = 52 – 32

12√17. cos β = 20

cos β = 20/(12√17)

cos β = 5/(3√17)

cos β = (5√17)/51
cos β = 0,4

arc cos 0,4 = 23,6°

Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh garis HR dengan bidangn FPQ adalah 23,6°

Demikianlah tentang cara menentukan besar sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang pada bangun ruang dimensi tiga. Mohon maaf jika ada kata-kata atau jawaban yang salah dalam postingan di atas. Jika ada permasalahan mengenai pembahasan di atas silahkan tanyakan di kolom komentar. Salam Mafia.