Pembuktian Identitas Trigonometri

Sebelum membuktikan identitas trigonometri, terlebih dahulu harus paham dengan trigonometri dasar yakni sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cosecan (csc), secan (sec), dan cotangen (cot). Untuk itu, silahkan simak gambar di bawah ini.

Segitiga siku-siku

Dari gambar segitiga siku-siku ABC di atas maka didapatkan bahwa:

Sin α = a/b

Cos α = c/b

Tan α = a/c

Csc α = b/a

Sec α = b/c

Cot α = c/a

Dari tan α, csc α, sec α, dan cot α akan didapatkan bentuk lain yakni:

Tan α = a/c

Tan α = (a/b)/(c/b)

Tan α = sin α/cos α

Csc α = b/a

Csc α = 1/(a/b)

Csc α = 1/sin α

Sec α = b/c

Sec α = 1/(c/b)

Sec α = 1/cos α

Cot α = c/a

Cot α = 1/(a/c)

Cot α = 1/tan α

Sekarang kita buktikan bahwa sin² α + cos² α = 1 dengan menggunakan teorema pythagoras yakni:

b² = a² + c²

b² = a² + c²

(a/sin α)² = (b.sin α)² + (b.cos α)²

a²/sin² α = b².sin²α + b².cos² α

a²/sin² α = b²(sin²α + cos² α)

a²/ b²sin² α = sin² α + cos² α

a²/a² = sin² α + cos² α

1 = sin² α + cos²α(terbukti)

Dengan menggunakan persamaan trigonometri dasar diatas maka persamaan identitas trigonometri sin² α + cos²α = 1 dapat dibuktikan sebagai berikut.

sin² α + cos² α = 1

(a/b)² + (c/b)² = 1

a²/b² + c²/b²= 1

(a² + c²)/b² = 1

b²/b² = 1

1 = 1 (terbukti)

Dari persamaan identitas trigonometri sin²α + cos² α = 1 akan didapatkan bentuk identitas lain yakni sebegai berikut.

Jika sama-sama dibagi dengan sin² α maka akan didapatkan:

sin² α + cos² α = 1

sin² α/sin² α + cos²α/sin² α = 1/sin² α

1 + cot² α = csc² α

csc²α – cot² α = 1

Sedangkan, jika sama-sama dibagi dengan cos²α maka akan didapatkan:

sin² α + cos² α = 1

sin² α/cos² α + cos²α/cos² α = 1/cos² α

tan² α + 1 = sec² α

sec²α – tan² α = 1

 

Identitas trigonometri dasar

Note: Identitas csc α, sec α dan cot α (dalam kotak warna merah) disebut sebagai identitas kebalikan. Identitas selanjutnya (dalam kotak berwarna biru) disebut sebagai identitas Pythagoras. Sedangkan identitas terakhir, tan α dan cot α (dalam kotak warna cokelat) disebut sebagai identitas rasio.