Cara Mencari Suku Ke-n dari Barisan Aritmatika

Pada postingan sebelumnya Mafia Online sudah membahas tentang perbendaan barisan dan deret bilangan. Juga sudah disinggung tentang cara menghitung barisan dan deret aritmatika. Nah pada postingan ini Mafia Online akan membahas tentang cara mencari suku ke-n dari barisan aritmatika. Cara mencari suku ke-n dari barisan aritmatika ini perlu anda pahami secara konsep karena materi ini akan anda jumpai lagi pada tingkat SMA/MA.

Dalam barisan aritmatika kita akan mengenal tingkatan-tingkatan barisan aritmatika. Mulai dari barisan aritmatika tingkat kesatu, tingkat kedua, tingkat ketiga, dan seterusnya. Dalam hal ini Mafia Online hanya membahas sampai barisan aritmatika tingkat ketiga. Rumus secara umum suku ke-n dari barisan artimatika:

Tingkat 1 => Un = an + b

Tingkat 2 => Un = an² + bn + c

Tingkat 3 => Un = an³ + bn²+ cn + d

Barisan Aritmatika Tingkat Kesatu

Contoh barisan aritmatika tingkat kesatu yakni sebagai berikut.

a. 2, 4, 6, 8, 10, . . .

b. 3, 6, 9, 12, 15, . . .

Kenapa disebut sebagai barisan aritmatika tingkat kesatu? Karena selisih dua suku yang berdekatan memiliki nilai sama berada pada tingkat pertama. Perhatikan gambar di bawah ini.

Untuk mencari rumus ke-n dari barisan aritmatika tingkat kesatu, silahkan perhatikan uraian berikut ini. Kita ketahui bahwa rumus umum untuk mencari suku ke-n dari barisan aritmatika tingkat kesatu yakni:

Un = an + b

maka:

U1 = a + b

U2 = 2a + b

U3 = 3a + b

U4 = 4a + b

Jika kita buat dalam barisan aritmatika maka akan tampak seperti berikut.

Dari gambar di atas terlihat bahwa selisih antara U2 dengan U1, U3 dengan U2, dan U4 dengan U3 adalah a.

Contoh Soal 1

Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika 6, 9, 12, 15, 18, . . .

Penyelesaian:

Dari gambar di atas maka:

a = 3

a + b = 6

3 + b = 6

b = 3

Un = an + b

Un = 3n + 3

Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmatika 6, 9, 12, 15, 18, . . . adalah Un = 3n + 3

Barisan Aritmatika Tingkat Kedua

Contoh barisan aritmatika tingkat kedua sebagai berikut.

a. 1, 3, 7, 13, 21, . . .

b. 5, 6, 10, 17, 27, . . .

c. 4, 6, 13, 25, 42, . . .

Selisih dua suku yang berdekatan yang bernilai sama berada pada tingkatan yang kedua. Perhatikan gambar di bawah ini.

Untuk mencari suku ke-n dari barisan aritmatika tingkat 2, silahkan perhatikan uraian berikut ini.

Un = an² + bn + c 

U1 = a(1)² + b(1) + c = a + b + c

U2 = a(2)² + b(2) + c = 4a + 2b + c

U3 = a(3)² + b(3) + c = 9a + 3b + c

U4 = a(4)² + b(4) + c = 16a + 4b + c

Jika dibuat dalam bentuk barisan maka akan tampak seperti berikut.

Dengan menggunakan barisan bertingkat maka barisan aritmatika 1, 3, 7, 13, 21, . . . akan diperoleh seperti berikut

Maka:

a + b + c = 1

3a + b = 2

2a = 2

Dengan metode substitusi maka diperoleh:

a = 1, b = – 1  dan c = 1 maka

Un = an² + bn + c

Un = 1n² + (– 1)n + 1

Un = n² – n + 1

Jadi rumus untuk menentukan nilai a, b, dan c pada barisan aritmatika tingkat 2 yakni:

a + b + c = U1

3a + b = U_t1

2a = U_t2

Contoh Soal 2

Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika 4, 6, 13, 25, 42, . . .

Penyelsaian:

2a = 5

a = 5/2

3a + b = 2

3(5/2) + b = 2

15/2 + b = 2

b = 4/2 – 15/2

b = – 11/2

a + b + c = 4

5/2 – 11/2 + c = 8/2

c = 8/2 – 5/2 + 11/2

c = 14/2

Un = an² + bn + c

Un = (5/2)n² – (11/2)n + 14/2

Un = ½ (5n² – 11n + 14)

Barisan Aritmatika Tingkat Ketiga

Contoh barisan aritmatika tingkat 3 sebagai berikut.

a. 1, 3, 7, 15, 29, . . .

b. 1, 2, 4, 10, 23, . . .

Selisih dua suku yang berdekatan memiliki nilai sama berada pada tingkatan yang ketiga. Perhatikan gambar di bawah ini.

Dengan cara yang sama seperti cara mencari rumus suku ke-n aritmatika tingkat kedua, maka akan diperoleh rumus untuk mencari a, b, c dan d yakni:

a + b + c + d = U1

7a + 3b + c = U_t1

12a + 2b = U_t2

6a = U_t3

Contoh Soal 3

Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika 1, 3, 7, 15, 29, . . .

Penyelesaian:

6a = 2

a = 1/3

12a + 2b = 2

4 + b = 2

b = – 2

7a + 3b + c = 2

7/3 – 6 + c = 2

c = 6/3 + 18/3 – 7/3

c = 17/3

a + b + c + d = 1

1/3 – 2 + 17/3 + d = 1

d = 3/3 – 1/3 + 6/3 – 17/3

d = – 9/3 = – 3

Un = (1/3)n³ – 2n² + (17/3)n – 3

Un = (1/3)(n³ – 6n² + 17n – 9)

Nah demikian postingan Mafia Online tentang cara mencari suku ke-n dari barisan aritmatika. Mohon maaf jika ada kata atau perhitungan yang salah dalam postingan ini. Salam Mafia => Kita pasti bisa.