Materi dan Contoh Soal Aturan Sinus Pada Segitiga

Agar lebih mudah menguasai konsep aturan sinus terlebih dahulu harus paham dengan perbandingan trigonometri pada suatu segitiga siku-siku khususnya definisi sinus suatu sudut. Silahkan simak gambar di bawah ini.

Segitiga sebarang

Dari gambar segitiga sebarang ABC di atas ditarik sebuah garis dari titik A menuju gari BC yang tegak lurus dan juga ditarik garis dari titik C menuju garis AB yang tegak lurus. Di mana ÐCAB = α, ÐABC = β,  ÐBCA = θ, AC = b, AB = c dan  BC = a.

Sekarang perhatikan ΔBDC, dengan menggunakan definisi sinus maka kita akan dapatkan panjang CD  adalah:

sin β = CD/BC

CD = BC . sin β (persamaan I)

Perhatikan juga ΔADC, maka kita akan dapatkan panjang CD  adalah:

sin α = CD/AC

CD = AC . sin α (persamaan II)

Dengan cara mensubtitusi, persamaan I dan persamaan II maka akan didapat persamaan:

BC . sin β = AC . sin α

BC/sin α = AC/sin β

a/sin α = b/sin β

Ssekarang perhatikan ΔAEC dan ΔAEB maka akan didaptkan panjang AE yakni:

Panjang AE untuk Δ yakni:

AE = AC . sin θ

Panjang AE untuk Δ yakni:

AE = AB . sin β

dengan menggabungkan kedua persamaan tersebut maka akan diperoleh persamaan:

AC . sin θ = AB . sin β

b/sin β = c/sinθ

Jadi dapat disimpulkan bahwa setiap  segitiga  ABC  dengan panjang sisi- sisi  BC, AC dan AB berturut-turut adalah a, b dan c satuan panjang dan besar sudut di hadapan sisi-sisi berturut-turut adalah α, β,  dan θ (seperti pada gambar ΔABC di atas) maka berlaku aturan sinus berikut:

persamaan aturan sinus

Aturan ini dapat digunakan untuk mencari unsur-unsur  suatu segitiga (panjang sisi dan besar sudut)  apabila  telah  diketahui  panjang  sisi  salah  satu  sudut dan besar  sudut di hadapan  sisi tersebut.

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang aturan sinus pada segitiga silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal

Deketahui segitiga ABC, dengan panjang AB = 20 cm, ÐA = 60°, dan ÐB = 75°. Tentukan panjang AC dan BC (sin 75° = 0,97).

Penyelesaian:

Jika digambarkan segitiganya maka akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Dengan menggunakan konsep jumlah sudut dalam segitiga maka kita akan dapat besarnya sudut di titik C yakni:

ÐA + ÐB  + ÐC = 180°

60° + 75° + ÐC = 180°

ÐC = 180° - 135°

ÐC = 45°

Sehingga dengan menggunakan aturan sinus maka kita akan dapat mencari sisi-sisi pada segitiga tersebut yakni:

AB/sin C = AC/sin B

AC = AB . sin B/sin C

AC = 20 cm . sin 60°/sin 45°

AC = 20 cm . (½√3)/(½√2)

AC = 20 cm . √3/√2

AC = 10√6 cm

AC = 24,5 cm

AB/sin C = BC/sin A

BC = AB . sin A/sin C

BC = 20 cm . sin 75°/sin 45°

BC = 20 cm . 0,97/(½√2)

BC = 9,7√2 cm

BC = 13,7 cm

Jadi panjang AC dan BC berturut-turut adalah 24,5 cm dan 13,7 cm.