Mencari Luas Segitiga dengan Sinus

Secara umum untuk mencari luas segitiga dapat dicari dengan mengalikan setengah panjang alas dengan tingginya. Di mana tinggi segitiga tegak lurus dengan alasnya. Bagaimana jika pada segitiga tersebut yang diketahui komponenya hanya sisi-sisinya? Silahkan simak gambar di bawah ini.

Dari gambar segitiga sebarang ABC di atas ditarik sebuah garis dari titik C menuju gari AB yang tegak lurus sehingga membentuk garis tinggi pada segitiga ABC. Di mana ÐCAB = α, ÐABC = β,  ÐBCA = θ, AC = b, AB = c dan  BC = a.

Agar lebih mudah menguasai cara mencari luas segitiga dengan sinus terlebih dahulu harus paham dengan perbandingan trigonometri pada suatu segitiga siku-siku khususnya definisi sinus suatu sudut. Oke langsung saja ke pembahasan.

Sekarang perhatikan ΔADC, dengan menggunakan definisi sinus maka kita akan dapatkan panjang CD  adalah:

sin α = CD/AC

CD = AC.sin α

CD = b.sin α

Sekarang gunakan persamaan untuk mencari luas segitiga yakni:

L = ½ alas × tinggi

L = ½AB × CD

L = ½c .b.sin α

L = ½bc.sin α

Sekarang perhatikan ΔBCD, dengan menggunakan definisi sinus maka kita akan dapatkan panjang CD  adalah:

sin α = CD/BC

CD = AC.sin β

CD = a.sin β

Sekarang gunakan persamaan untuk mencari luas segitiga yakni:

L = ½ alas × tinggi

L = ½AB × CD

L = ½c .a.sin β

L = ½ac.sin β

Dengan cara yang sama kita juga bisa melakukan langkah untuk sudut θ dengan cara menarik sebuah garis dari titik A ke garis BC yang tegak lurus. Jadi dapat disimpulkan bahwa setiap  segitiga  ABC  dengan panjang sisi- sisi berturut-turut adalah a, b dan c satuan panjang dan besar sudut di hadapan sisi-sisi berturut-turut adalah α, β,  dan θ (seperti pada gambar ΔABC di atas) maka untuk mencari luas segitiga akan berlaku persamaan sebagai berikut:

L = ½bc.sin α

L = ½ac.sin β

L = ½ab.sin θ

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang aturan cosinus pada segitiga silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Diketahui  segitiga  ABC,  dengan  panjang  AB  =  12  cm,  BC =  5 cm  dan  sudut B  = 30°, tentukan luas ΔABC.

Penyelesaian:

Jika digambarkan segitiganya maka akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Luas ΔABC yakni:

L = ½ AB . BC.sin 30°

L = ½ 12 cm . 5 cm . ½

L = 15 cm²

Contoh Soal 2

Diketahui  segitiga  ABC  dengan panjang  AC  =  BC  =  6  cm,    AB  = 6√3 cm. Tentukan luas ΔABC tersebut.

Penyelesaian:

Jika digambarkan segitiganya maka akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Dicari  dahulu  salah  satu  sudutnya  dengan menggunakan aturan cosinus:

AB² = AC² + BC²– 2AC.BC.cos C

(6√3)² = 6² + 6²– 2.6.6. cos C

 108 = 36 + 36 – 72.cos C

36 = 72.cos C

cos C = 36/72

cos C = ½

Dengan menggunakan identitas trigonometri bahwa cos² C + sin² C = 1 maka:

sin² C = 1 – cos² B

sin² C = 1 – (½)²

sin² C = 1 – ¼

sin² C = ¾

sin C = ½√3

L = ½ . AC . BC.sin C

L = ½ . 6 cm . 6 cm . ½√3

L = 9√3 cm²

Soal Tatangan

Sebuah lingkaran yang di dalam terdapat segiempat tali busur seperti gambar di bawah ini.

Panjang tali busur AB = 1 cm, BC = 3 cm, CD = 4 cm dan AD = 2 cm. Tentukan luas segi empat tali busur tersebut.